Grundlagen: Mathematik

Wann ist eine Funktion $f$ stetig?

Eine Funktion $f$ ist an einer Stelle $x_0$ stetig, wenn sie dort keine Sprünge, Lücken oder Unterbrechungen aufweist. Das bedeutet, dass der Funktionswert an der Stelle $x_0$ dem Grenzwert der Funktion für $x$ gegen $x_0$ entspricht.

Formelle Definition

Sei $f: D \to \mathbb{R}$ eine Funktion und $x_0 \in D$ ein Punkt. Die Funktion $f$ ist an der Stelle $x_0$ stetig, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:

1. Der Funktionswert $f(x_0)$ ist definiert.
2. Der Grenzwert $\lim_{x \to x_0} f(x)$ existiert.
3. Der Grenzwert ist gleich dem Funktionswert: $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $$

Alternativ, mit der $\epsilon$-$\delta$-Definition:

Die Funktion $f$ ist an der Stelle $x_0$ stetig, wenn für jedes $\epsilon > 0$ ein $\delta > 0$ existiert, sodass für alle $x \in D$ gilt:

$$ |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon $$

Geometrische Interpretation

Eine Funktion ist stetig, wenn man ihren Graphen ohne den Stift abzusetzen zeichnen kann. Es gibt keine "Löcher" oder "Sprünge" im Graphen.

Beispiel

• Die Funktion $f(x) = x^2$ ist an jeder Stelle $x \in \mathbb{R}$ stetig, da der Graph eine durchgehende Parabel ist und keine Unterbrechungen aufweist.
• Die Funktion $g(x) = \begin{cases} 1 & \text{für } x \ge 0 \\ 0 & \text{für } x < 0 \end{cases}$ ist an der Stelle $x=0$ nicht stetig, da an dieser Stelle ein Sprung vorliegt. Der Grenzwert von links ist 0, der Grenzwert von rechts ist 1, und $f(0)=1$. Der Grenzwert existiert nicht, da links- und rechtsseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen.