Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit zwei Binäroperationen, üblicherweise bezeichnet als Addition + und Multiplikation ⋅, die die folgenden Eigenschaften erfüllen:
Ring-Eigenschaften
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Abgeschlossenheit unter Addition
∀a,b∈R:a+b∈R
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Assoziativität der Addition
∀a,b,c∈R:(a+b)+c=a+(b+c)
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Existenz eines neutralen Elements für die Addition
Es gibt ein 0∈R mit a+0=a für alle a∈R
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Existenz inverser Elemente für die Addition
Zu jedem a∈R gibt es ein −a∈R, sodass a+(−a)=0
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Kommutativität der Addition
∀a,b∈R:a+b=b+a
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Abgeschlossenheit unter Multiplikation
∀a,b∈R:a⋅b∈R
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Assoziativität der Multiplikation
∀a,b,c∈R:(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
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Distributivität
∀a,b,c∈R:a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c und (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c
Beispiel
Die Menge der ganzen Zahlen (Z,+,⋅) bildet einen Ring, da sowohl die Addition als auch die Multiplikation die Ring-Eigenschaften erfüllen.