Ein Ring ist eine Menge $R$ zusammen mit zwei Binäroperationen, üblicherweise bezeichnet als Addition $+$ und Multiplikation $\cdot$, die die folgenden Eigenschaften erfüllen:
Ring-Eigenschaften
-
Abgeschlossenheit unter Addition
$\forall a, b \in R: a + b \in R$
-
Assoziativität der Addition
$\forall a, b, c \in R: (a + b) + c = a + (b + c)$
-
Existenz eines neutralen Elements für die Addition
Es gibt ein $0 \in R$ mit $a + 0 = a$ für alle $a \in R$
-
Existenz inverser Elemente für die Addition
Zu jedem $a \in R$ gibt es ein $-a \in R$, sodass $a + (-a) = 0$
-
Kommutativität der Addition
$\forall a, b \in R: a + b = b + a$
-
Abgeschlossenheit unter Multiplikation
$\forall a, b \in R: a \cdot b \in R$
-
Assoziativität der Multiplikation
$\forall a, b, c \in R: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
-
Distributivität
$\forall a, b, c \in R: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ und $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$
Beispiel
Die Menge der ganzen Zahlen $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ bildet einen Ring, da sowohl die Addition als auch die Multiplikation die Ring-Eigenschaften erfüllen.