Grundlagen: Mathematik

Was ist eine Reihe?

Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge.

Formelle Definition

Gegeben sei eine Folge $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$. Die zugehörige Reihe ist definiert als die unendliche Summe aller Glieder dieser Folge:

$$\sum_{k=1}^{\infty} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \dots$$

Die $N$-te Partialsumme $S_N$ einer Reihe ist die Summe der ersten $N$ Glieder:

$$S_N = \sum_{k=1}^{N} a_k = a_1 + a_2 + \dots + a_N$$

Erklärung

Im Gegensatz zu einer Folge, die eine geordnete Liste von Zahlen ist, betrachtet eine Reihe die fortlaufende Summation dieser Zahlen. Man spricht auch von einer "unendlichen Summe". Die Partialsummen sind dabei die entscheidenden Größen, um das Verhalten der Reihe zu untersuchen.

Beispiele

• Geometrische Reihe: Die Reihe, die aus den Gliedern einer geometrischen Folge entsteht, z.B. $\sum_{k=0}^{\infty} q^k = 1 + q + q^2 + \dots$.
• Harmonische Reihe: Die Reihe, die aus den Kehrwerten der natürlichen Zahlen gebildet wird, z.B. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots$.