Grundlagen: Mathematik

Was ist eine Orthogonalmatrix?

Eine quadratische Matrix $Q\in\mathbb{R}^{n\times n}$ heißt orthogonal, wenn $Q^\top Q = Q Q^\top = I_n$.

Bzw. $Q^{-1}=Q^\top$ und die Spalten (bzw. Zeilen) von $Q$ bilden eine Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^n$.

Eigenschaften

1. $\|Qx\| = \|x\|$ für alle $x\in\mathbb{R}^n$ (Längenerhaltend).
2. Skalarprodukte bleiben erhalten: Für das euklidische Skalarprodukt $\langle u,v\rangle = u^\top v$ gilt $$\langle Qx,\,Qy\rangle = (Qx)^\top (Qy) = x^\top (Q^\top Q)\,y = x^\top y = \langle x,y\rangle.$$
3. $\det(Q)=\pm1$ (Rotationen $\det(Q)=1$, Spiegelungen $\det(Q)=-1$).
4. Eigenwerte liegen auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene (Betrag $1$).

Beispiele

• $I_n$ ist orthogonal ($I_n^\top I_n=I_n$).
• Rotation in $\mathbb{R}^2$ um Winkel $\theta$: $$Q=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},\quad Q^\top Q=I_2.$$
• Reflexion an der $x$-Achse in $\mathbb{R}^2$: $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ (orthogonal, $\det=-1$).