Grundlagen: Mathematik

Was ist eine Norm?

Eine Norm auf einem Vektorraum $V$ ist eine Abbildung $\|\cdot\|:V\to[0,\infty)$ mit

• Positivität: $\|v\|=0\iff v=0$
• Homogenität: $\|\alpha v\|=|\alpha|\,\|v\|$ für alle $\alpha\in\mathbb{R}$ (oder $\mathbb{C}$)
• Dreiecksungleichung: $\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|$

Erklärung

Eine Norm misst die "Länge" von Vektoren und erzeugt eine Metrik $d(v,w)=\|v-w\|$, wodurch Topologie und Konvergenzbegriffe entstehen.

Beispiele

• Euklidische Norm: $\|x\|_2=\sqrt{\sum_i x_i^2}$.
• $p$-Normen auf $\mathbb{R}^n$: $\displaystyle\|x\|_p=\bigg(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\bigg)^{1/p}$ für $1\le p<\infty$.
• Unendlich-Norm: $\|x\|_\infty=\max_i|x_i|$.

Kurzformel

Normaxiome: für alle $v,w\in V$, $\alpha\in\mathbb{R}$: Pos, Hom, Dreieck ⇔ $\|\cdot\|$ ist Norm.