Grundlagen: Mathematik

Was ist eine Umgebung eines Punktes?

Eine Umgebung eines Punktes $x$ in einem topologischen Raum ist eine Menge, die den Punkt $x$ zusammen mit weiteren Punkten enthält, die in der Nähe von $x$ liegen.

Formelle Definition

Eine Menge $U$ ist eine Umgebung des Punktes $x$, wenn es eine positive Zahl $\epsilon > 0$ gibt, sodass die offene Kugel:

$$ B(x, \epsilon) = \{y \,|\, d(x, y) < \epsilon\} $$ ganz in $U$ enthalten ist.

Beispiel

Für den Punkt $x = 1$ und $\epsilon = 0.5$ ist die Umgebung:

$$ B(1, 0.5) = (0.5, 1.5) $$ die alle Punkte innerhalb von 0.5 von $x = 1$ enthält.