Grundlagen: Mathematik

Welche Eigenschaften hat eine Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ mit $\text{Rang}(A)=n$?

• $A$ ist invertierbar: Es existiert $A^{-1}$ mit $AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$.
• $\det(A)\neq 0$.
• $\text{Kern}(A)=\{0\}$ (nur die triviale Lösung des homogenen Systems $Ax=0$).
• $\text{Bild}(A)=\mathbb{K}^n$ (die Spalten bilden eine Basis von $\mathbb{K}^n$).
• Die Zeilen bilden ebenfalls eine Basis von $\mathbb{K}^n$ (volle Zeilenrang).
• Die lineare Abbildung $x\mapsto Ax$ ist bijektiv (ein-eindeutige Lösung für jedes $b\in\mathbb{K}^n$).
• $\lambda = 0$ ist kein Eigenwert von $A$.

Beispiel

Für $I_n$ gilt $\text{Rang}(I_n)=n$, $I_n^{-1}=I_n$, $\det(I_n)=1$, $\text{Kern}(I_n)=\{0\}$ und $\text{Bild}(I_n)=\mathbb{K}^n$.