Grundlagen: Mathematik

Was ist der Rang einer Matrix?

Der Rang einer Matrix $A$ ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen- (oder Spalten-)vektoren von $A$; kurz: $\text{Rang}(A)\in\mathbb{N}_0$.

Eigenschaften

• Äquivalent: $\text{Rang}(A)=\dim(\text{Bild}(A))$, also die Dimension des Bildes der linearen Abbildung $x\mapsto A x$.
• Für $A\in\mathbb{K}^{m\times n}$ gilt $0\le\text{Rang}(A)\le\min(m,n)$.
• Praktisch bestimmbar durch Zeilenstufenform (Gauß):
  die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen ist der Rang.

Beispiele

• $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ hat $\text{Rang}(A)=1$ (zweite Zeile $= 2\,\cdot\,$erste Zeile).
• $B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$ hat $\text{Rang}(B)=2$ (zwei unabhängige Zeilen).