Was ist der Kern einer Matrix $A$?
Der $\text{Kern}(A)$ ist die Menge aller Vektoren $x$ mit $Ax=0$.
Erklärung
- Formell: $\text{Kern}(A)=\{x\in\mathbb{K}^n \mid A x = 0\}$.
- Die Dimension $\dim(\text{Kern}(A))$ beschreibt die Anzahl freier Parameter der Lösungsmenge des homogenen Systems $Ax=0$.
- Rangsatz: Für $A:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^m$ gilt
$$
\dim(\text{Kern}(A)) + \dim(\text{Bild}(A)) = n.
$$
- $\text{Kern}(A)=\{0\}$ genau dann, wenn $\text{Rang}(A)=n$.
Beispiele
- Für $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ ist $\text{Kern}(A)=\{t(-2,1)^\top : t\in\mathbb{R}\}$ (Dimension $1$).
- Für die Einheitsmatrix $I_n$ gilt $\text{Kern}(I_n)=\{0\}$.