Grundlagen: Mathematik

Was ist der Kern einer Matrix $A$?

Der $\text{Kern}(A)$ ist die Menge aller Vektoren $x$ mit $Ax=0$.

Erklärung

• Formell: $\text{Kern}(A)=\{x\in\mathbb{K}^n \mid A x = 0\}$.
• Die Dimension $\dim(\text{Kern}(A))$ beschreibt die Anzahl freier Parameter der Lösungsmenge des homogenen Systems $Ax=0$.
• Rangsatz: Für $A:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^m$ gilt $$\dim(\text{Kern}(A)) + \dim(\text{Bild}(A)) = n.$$
• $\text{Kern}(A)=\{0\}$ genau dann, wenn $\text{Rang}(A)=n$.

Beispiele

• Für $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ ist $\text{Kern}(A)=\{t(-2,1)^\top : t\in\mathbb{R}\}$ (Dimension $1$).
• Für die Einheitsmatrix $I_n$ gilt $\text{Kern}(I_n)=\{0\}$.