Grundlagen: Mathematik

Wann ist eine Matrix $A$ invertierbar?

Genau dann, wenn es eine Matrix $B$ mit $AB=BA=I$ gibt.
Äquivalent: $\det(A)\neq 0$ (für quadratische Matrizen).

Erklärung

• Für $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ sind äquivalent:
  1. $\exists A^{-1}$ mit $AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$.
  2. $\det(A)\neq0$.
  3. $\text{Rang}(A)=n$ (Zeilen/Spalten linear unabhängig).
  4. $\text{Kern}(A)=\{0\}$ (nur die triviale Lösung des homogenen Systems).
• Für nicht-quadratische Matrizen gibt es keine beidseitige Inverse; man betrachtet ggf. Links- oder Rechtsinversen.

Beispiel

Für $2\times2$-Matrix $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ gilt $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$, falls $\det(A)=ad-bc\neq0$.