Grundlagen: Mathematik

Was ist Lipschitz-Stetigkeit?

Eine Funktion $f:(X,d_X)\to(Y,d_Y)$ heißt *Lipschitz-stetig*, wenn es eine Konstante $L\ge0$ gibt, sodass für alle $x,x'\in X$

$$ d_Y\big(f(x),f(x')\big)\le L\,d_X(x,x'). $$

Die kleinste solche Konstante heißt Lipschitz-Konstante $\operatorname{Lip}(f)$.

Erklärung

Lipschitz-Stetigkeit bedeutet: Abstände werden höchstens um den Faktor $L$ vergrößert. Insbesondere ist jede Lipschitz-stetige Funktion gleichmäßig stetig und daher stetig. Für reelle Funktionen auf Intervallen mit differenzierbaren $f$ gilt oft

$$ \operatorname{Lip}(f)=\sup_{x}|f'(x)| $$

wenn die Ableitung existiert und beschränkt ist.

Beispiele

• $f(x)=ax+b$ auf $\mathbb{R}$ ist Lipschitz mit $L=|a|$.
• $f(x)=\sqrt{x}$ auf $[0,1]$ ist Lipschitz (z.B. mit $L=\tfrac{1}{2\sqrt{0+\varepsilon}}$ auf $[\varepsilon,1]$), aber nicht global Lipschitz auf $[0,\infty)$.
• Die Funktion $f(x)=x^2$ ist auf ganz $\mathbb{R}$ nicht Lipschitz, wohl aber auf jedem beschränkten Intervall $[ -M,M]$ mit $L=2M$.