Grundlagen: Mathematik

Was ist das Kronecker-Delta (Kronecker-Symbol)?

Das Kronecker-Delta $\delta_{ij}$ ist definiert durch

$$\delta_{ij}=\begin{cases}1,& i=j,\\[4pt]0,& i\neq j.\end{cases}$$

Erklärung

Es ist ein diskreter Indikator, der zwei Indizes auf Identität prüft. In Matrizen- und Summenkontexten wirkt es wie die Identitätsmatrix: für eine Matrix $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ gilt

$$(\delta_{ij})_{i,j=1}^n = I_n,\qquad \sum_{j=1}^n \delta_{ij} a_j = a_i.$$

Das Delta wird häufig verwendet, um Summen zu vereinfachen oder Indizes zu ersetzen (Index-Kontraktion).

Beispiele

• $\delta_{23}=0,\ \delta_{77}=1$.
• Für Vektor $v$: $\sum_{j}\delta_{ij}v_j = v_i$ (Extraktion der i-ten Komponente).
• Produkt mit Permutation: $\sum_{k}\delta_{ik}\delta_{kj}=\delta_{ij}$.