Grundlagen: Mathematik

Ein Körper ist eine Menge $K$ zusammen mit zwei Operationen, Addition $+$ und Multiplikation $\cdot$, die die folgenden Eigenschaften erfüllen:

Körper-Eigenschaften

• Abgeschlossenheit unter Addition
  $\forall a, b \in K: a + b \in K$
• Abgeschlossenheit unter Multiplikation
  $\forall a, b \in K: a \cdot b \in K$
• Assoziativität
  $\forall a, b, c \in K: (a + b) + c = a + (b + c)$ und $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
• Kommutativität
  $\forall a, b \in K: a + b = b + a$ und $a \cdot b = b \cdot a$
• Existenz eines neutralen Elements für die Addition
  Es gibt ein $0 \in K$ mit $a + 0 = a$
• Existenz eines neutralen Elements für die Multiplikation
  Es gibt ein $1 \in K$ mit $a \cdot 1 = a$
• Existenz inverser Elemente
  Zu jedem $a \in K$ existiert ein additives Inverses $-a$ mit $a+(-a)=0$; zu jedem $a\neq0$ existiert ein multiplikatives Inverses $a^{-1}$ mit $a\cdot a^{-1}=1$.
• Distributivität
  $\forall a, b, c \in K: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Beispiel

Die Menge der rationalen Zahlen $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ bildet einen Körper, da sie alle Körper-Eigenschaften erfüllt.