Ein Körper ist eine Menge $K$ zusammen mit zwei Operationen, Addition $+$ und Multiplikation $\cdot$, die die folgenden Eigenschaften erfüllen:
Körper-Eigenschaften
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Abgeschlossenheit unter Addition
$\forall a, b \in K: a + b \in K$
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Abgeschlossenheit unter Multiplikation
$\forall a, b \in K: a \cdot b \in K$
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Assoziativität
$\forall a, b, c \in K: (a + b) + c = a + (b + c)$ und $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
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Kommutativität
$\forall a, b \in K: a + b = b + a$ und $a \cdot b = b \cdot a$
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Existenz eines neutralen Elements für die Addition
Es gibt ein $0 \in K$ mit $a + 0 = a$
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Existenz eines neutralen Elements für die Multiplikation
Es gibt ein $1 \in K$ mit $a \cdot 1 = a$
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Existenz inverser Elemente
Zu jedem $a \in K$ mit $a \neq 0$ existiert ein $-a$ und ein $a^{-1}$ mit $a + (-a) = 0$ und $a \cdot a^{-1} = 1$
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Distributivität
$\forall a, b, c \in K: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
Beispiel
Die Menge der rationalen Zahlen $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ bildet einen Körper, da sie alle Körper-Eigenschaften erfüllt.