Grundlagen: Mathematik

Was bedeutet isomorph?

In der Mathematik sind zwei Strukturen (z.B. Mengen, Gruppen, Vektorräume) isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt, die die Struktur erhält.

Formelle Definition

Seien $A$ und $B$ zwei Mengen und $f: A \to B$ eine bijektive Abbildung. Dann sind $A$ und $B$ isomorph, wenn für alle Operationen $ \ast $ gilt:

$$f(a_1 \ast a_2) = f(a_1) \ast' f(a_2) \quad \forall a_1, a_2 \in A$$ wobei $\ast'$ die entsprechende Operation auf $B$ ist.

Beispiel

Die Gruppen $(\mathbb{R},+)$ und $(\mathbb{R}_{>0},\cdot)$ sind isomorph, z.B. durch $f(x)=e^x$, denn $f(x+y)=f(x)f(y)$ und $f$ ist bijektiv.