Grundlagen: Mathematik

Was ist eine injektive Funktion?

Eine Funktion $f:A\to B$ heißt injektiv, wenn für alle $x,x'\in A$ aus $f(x)=f(x')$ stets $x=x'$ folgt.

Erklärung

Äquivalent: verschiedene Argumente haben verschiedene Bilder. Formal:

$$ \forall x,x'\in A:\ f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'. $$

Dies bedeutet, dass $f$ eineindeutig auf ihr Bild ist und eine Umkehrfunktion $f^{-1}:f(A)\to A$ existiert (als Funktion auf dem Bild).

Beispiele

• $f(x)=2x$ auf $\mathbb{R}$ ist injektiv (weil $2x=2y\Rightarrow x=y$).
• $g(x)=x^2$ auf $\mathbb{R}$ ist nicht injektiv (z.B. $g(1)=g(-1)$); auf $[0,\infty)$ jedoch injektiv.