Grundlagen: Mathematik

Was ist eine Gruppe?

Eine Gruppe ist eine Menge $G$ zusammen mit einer Binäroperation $\ast$, die die folgenden Eigenschaften erfüllt:

Gruppeneigenschaften

• Abgeschlossenheit
  $\forall a, b \in G: a \ast b \in G$
• Assoziativität
  $\forall a, b, c \in G: (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$
• Identitätselement
  Es gibt ein $e \in G$, sodass $\forall a \in G: e \ast a = a \ast e = a$
• Inverses Element
  Zu jedem $a \in G$ gibt es ein $b \in G$, sodass $a \ast b = b \ast a = e$

Beispiel

Die Menge der ganzen Zahlen $(\mathbb{Z}, +)$ bildet eine Gruppe, da die Addition die Gruppeneigenschaften erfüllt: Sie ist abgeschlossen, assoziativ, hat die Null als Identität und jede Zahl hat ein Inverses (z.B. $-a$ für $a \in \mathbb{Z}$).