Grundlagen: Mathematik

Wann ist eine Folge $(a_n)$ konvergent?

Genau dann, wenn es ein $L \in \mathbb{R}$ gibt mit $\lim_{n\to\infty} a_n = L$.

Erklärung

Das bedeutet: Für jedes $\varepsilon>0$ existiert ein $N\in\mathbb{N}$, so dass für alle $n\ge N$ gilt $$ |a_n - L| < \varepsilon. $$

Beispiele

• $a_n=\tfrac{1}{n}\to 0$, denn für $\varepsilon>0$ wähle $N>\tfrac{1}{\varepsilon}$, dann $n\ge N \Rightarrow \left|\tfrac{1}{n}-0\right|<\varepsilon$.
• $a_n=(-1)^n$ ist nicht konvergent (oszilliert zwischen $-1$ und $1$; kein gemeinsamer Grenzwert).