Grundlagen: Mathematik

Wann ist eine Funktion $f$ differenzierbar?

Eine Funktion $f$ ist an einer Stelle $x_0$ differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle existiert und endlich ist.

Formelle Definition

Sei $f: D \to \mathbb{R}$ eine Funktion und $x_0 \in D$ ein Punkt. Die Funktion $f$ ist an der Stelle $x_0$ differenzierbar, wenn der Grenzwert

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

existiert.

Existiert dieser Grenzwert, so wird er als Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$ bezeichnet und mit $f'(x_0)$ notiert.

Geometrische Interpretation

Geometrisch bedeutet die Differenzierbarkeit, dass an der Stelle $x_0$ eine eindeutige Tangente an den Funktionsgraphen existiert.

Beispiel

• Die Funktion $f(x) = x^2$ ist an jeder Stelle $x \in \mathbb{R}$ differenzierbar, da der Grenzwert des Differenzenquotienten immer existiert und $f'(x) = 2x$ ist.
• Die Funktion $g(x) = |x|$ ist an der Stelle $x=0$ nicht differenzierbar, da die links- und rechtsseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten an dieser Stelle nicht übereinstimmen: $$\lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h|-|0|}{h} = -1$$ und $$\lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h|-|0|}{h} = 1$$