Grundlagen: Mathematik

Was ist eine bijektive Funktion?

Eine Funktion $f:A\to B$ ist bijektiv, wenn sie gleichzeitig injektiv und surjektiv ist — also eine Eins-zu-eins-Zuordnung zwischen $A$ und $B$.

Erklärung

Formal:

$$ \big(\forall x,x'\in A:\ f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'\big) \quad\text{und}\quad \big(\forall y\in B\ \exists x\in A:\ f(x)=y\big). $$

Äquivalent: Es existiert eine Umkehrfunktion $f^{-1}:B\to A$ mit $f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_A$ und $f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_B$.

Beispiele

• $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x+1$ ist bijektiv (Invers: $f^{-1}(y)=y-1$).
• $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ g(x)=x^3$ ist bijektiv (Invers: $g^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}$).
• $h:\mathbb{R}\to[0,\infty),\ h(x)=x^2$ ist nicht bijektiv (nicht injektiv auf $\mathbb{R}$ und nicht surjektiv auf $\mathbb{R}$).